可視化における代数処理

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このポストは「The grammar of graphics」の5章「代数(algebra)」を(つまみつつ)訳したものです。

5. 代数

代数(algebra)という言葉はアラビア語の「al-jebr」という単語が語源であり、「修復」または「破損した部品の再結合」を意味しています。本章ではグラフに埋め込まれるフレームに対する仕様(specification)を作成するための変数の組の修復(restore)と平衡(balance)に焦点を当てます。 仕様の最初のパートでは、変数の組に関わる代数表現表現を含んでいます。 統語表現の規則を振り返り、ついで典型的な表現の例を紹介します。

5.1 統語論(Syntax)

5.1.1 記号(Symbols)

企業は代数における操作される対象を表すために用いられます。変数の組における記号は

5.1.2 演算子

5.1.2.1 Cross (*)
5.1.2.2 Nest (/)
5.1.2.3 Blend (+)

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2.1.7 代数

代数(algebra)は、1) セット、2) セットへの演算子、3) これらの演算子の組み合わせに対する規則の集合です。 この定義は、実数に対する算術の基礎となっている古典的な代数学に対して、より一般的で限定的・抽象的な講義の代数学を含んでいます。

演算子は変形の概念を一般化したものです。セットXに対する演算子は、X x X x ... X として定義された関数で X を返します。 演算子は、unary または monadic (ともに単項)、binary または diladic、または n-ary です。 代数規則は、演算子の結合の仕方を指定します。 例えば、規則 R の 演算子 "+" は 「(a, b) |-> a + b」を意味します。

2.1.8 変数 (variables)

変数 X は「f : O -> V」のマッピングであり、次のような3つ組を考えます。 X = [O, V, f]

  • 変域 O はオブジェクトのセット
  • 値域 V は値のセット
  • 関数 f はV に属する要素OをVに関連付ける

f の下で O は、X の値を含みます。 可能な値 x を x ∈ V として示します。オブジェクト o (o ∈ O) の値を X(o) と示します。 V が区間のとき、変数は連続です。V と有限な整数の組が等価の時、変数はカテゴリカルです。

変数は多次元であることもあります。 X は p の1次元変数からなるとき、p次元の変数になります。

2.1.9 変数セット (varset)

X = [V, O~, f]

  • 変域 V は値のセット
  • 値域 O~ はオブジェクトのバッグ(元の重複を許す=>同じデータを含むことが可能)
  • 関数 f はV に属する要素OをVに関連付ける

変数セットにおけるグラフィック代数の演算子の定義を簡潔にするために、変数に対してマッピングを反対にしたものです。 同時に、変数のオブジェクトのセットと変数セットのバッグのセットを入れ替えました。 一度以上オブジェクトに対して値をマッピングすることを可能にするために、値域にバッグを利用しました。

2.1.10 フレーム (frames)

変数セットのp次元ドメインとなるすべての可能な値の範囲にあるタプルのことをframeとします。